Kako se meri krožna frekvenca nihanja? Osnovne formule v fiziki - nihanje in valovanje

Tako je celotna energija harmoničnega nihanja konstantna in sorazmerna s kvadratom amplitude premika . To je ena od značilnih lastnosti harmoničnih nihanj. Pri tem konstantni koeficient k pri vzmetnem nihalu pomeni togost vzmeti, pri matematičnem nihalu pa k=mgH. V obeh primerih se koeficient k prenaša s parametri nihajnega sistema.

Celotna energija mehanskega nihajnega sistema je sestavljena iz kinetične in potencialne energije in je enaka največji vrednosti katere koli od teh dveh komponent:

Zato je skupna energija nihanja neposredno sorazmerna s kvadratom amplitude premika ali kvadratom amplitude hitrosti.

Iz formule:

je mogoče določiti amplitudo x m nihanj premika:

Amplituda premika med prostim nihanjem je premo sorazmerna s kvadratnim korenom energije, ki je bila prenesena na nihajni sistem v začetnem trenutku, ko je bil sistem spravljen iz ravnovesja.

Kinematika mehanskih prostih nihanj

1 Premik, hitrost, pospešek. Za iskanje kinematičnih značilnosti (premika, hitrosti in pospeška) prostih nihanj bomo uporabili zakon o ohranitvi in transformaciji energije, ki se za idealni mehanski nihajni sistem zapiše takole:

Ker je časovni odvod φ " konstanten, je kot φ linearno odvisen od časa:

Ob upoštevanju tega lahko zapišemo:

x = x m sin ω 0 t, υ = x m ω 0 cos ω 0 t

Tukaj je vrednost

je amplituda spremembe hitrosti:

υ = υ m cos ω 0 t

Odvisnost trenutne vrednosti pospeška a iz časa t najdemo kot odvod hitrosti υ glede na čas:

a = υ " = - ω 0 υ m sin ω 0 t,

a = -a m sin ω 0 t

znak "-" v dobljeni formuli pomeni, da je znak projekcije vektorja pospeška na os, vzdolž katere se pojavljajo nihanja, nasproten znaku premika x.

Vidimo torej, da se pri harmoničnih nihanjih sinusno ne spreminjata le premik, ampak tudi hitrost in pospešek. .

2 Ciklična frekvenca nihanja. Količino ω 0 imenujemo ciklična frekvenca nihanj. Ker ima funkcija sin α periodo 2π v svojem argumentu α, harmonična nihanja pa imajo periodo T v času, potem

Kotna frekvenca je izražena v radianih na sekundo, njena dimenzija je inverzna dimenziji časa (radiani so brezdimenzijski). Kotna frekvenca je časovni odvod faze nihanja:

Kotna frekvenca v radianih na sekundo je izražena s frekvenco f(izraženo v obratih na sekundo ali vibracijah na sekundo), kot

Če kot enoto kotne frekvence uporabimo stopinje na sekundo, je razmerje do navadne frekvence naslednje:

Končno, pri uporabi vrtljajev na sekundo je kotna frekvenca enaka vrtilni hitrosti:

Uvedba ciklične frekvence (v njeni glavni dimenziji - radiani na sekundo) nam omogoča poenostavitev številnih formul v teoretični fiziki in elektroniki. Tako je resonančna ciklična frekvenca nihajnega LC kroga enaka medtem ko je običajna resonančna frekvenca . Hkrati se zapletejo številne druge formule. Odločilni premislek v prid ciklične frekvence je bil, da faktorja in , ki se pojavita v številnih formulah pri uporabi radianov za merjenje kotov in faz, izgineta, ko uvedemo ciklično frekvenco.

Poglej tudi

Fundacija Wikimedia. 2010.

Oglejte si, kaj je "ciklična frekvenca" v drugih slovarjih:

ciklična frekvenca- kampinis dažnis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. kotna frekvenca ciklična frekvenca radianska frekvenca vok. Kreisfrequenz, f; Winkelfrequenz, f rus. krožna frekvenca, f; kotna frekvenca, f; ciklična frekvenca, f pranc. fréquence… … Fizikos terminų žodynas

Enako kot kotna frekvenca ... Veliki enciklopedični politehnični slovar

Frekvenca je fizikalna količina, značilnost periodičnega procesa, ki je enaka številu popolnih ciklov, opravljenih na časovno enoto. Standardni zapis v formulah, oz. Enota frekvence v mednarodnem sistemu enot (SI) na splošno... ... Wikipedia

Ta izraz ima druge pomene, glejte Pogostost (pomeni). Frekvenca SI enote Hz Fizična frekvenca v ... Wikipedia

FREKVENCA- (1) število ponovitev periodičnega pojava na časovno enoto; (2) Ch. stranska frekvenca, večja ali manjša od nosilne frekvence visokofrekvenčnega generatorja, ki se pojavi, ko (glej); (3) Število vrtljajev je vrednost, ki je enaka razmerju števila vrtljajev ... ... Velika politehnična enciklopedija

štetje ciklov Priročnik za tehnične prevajalce

Pogostost- nihanja, število popolnih obdobij (ciklov) nihajnega procesa, ki se pojavijo na časovno enoto. Enota za frekvenco je hertz (Hz), ki ustreza enemu celotnemu ciklu v 1 s. Frekvenca f=1/T, kjer je T obdobje nihanja, ne glede na to, kako pogosto... ... Ilustrirani enciklopedični slovar

Ciklični inventar (CYCLE COUNT)- Metoda natančne revizije razpoložljivih skladiščnih zalog, ko se zaloge popisujejo periodično ciklično in ne enkrat letno. Ciklični popisi skladiščnih zalog se običajno izvajajo redno (običajno pogosteje za... ... Glosar pojmov upravljalnega računovodstva

Dimenzija T −1 Enote ... Wikipedia

Opredelitev

Merilo nihajnega gibanja je ciklično (ali kotno ali krožno) frekvenca vibracij.

To je skalarna fizikalna količina.

Ciklična frekvenca za harmonična nihanja

Naj materialna točka niha. V tem primeru gre materialna točka skozi isti položaj v enakih časovnih intervalih.

Najenostavnejša nihanja so harmonična. Razmislite o naslednjem kinematičnem modelu. Točka M se s konstantno absolutno hitrostjo ($v$) giblje po krožnici polmera A. V tem primeru bomo njeno kotno hitrost označili z $(\omega )_0$, ta hitrost je konstantna (slika 1).

Projekcija točke $M$ na premer kroga (točka $N$), na os X, niha od $N_1$ do $N_2\ $in nazaj. Tako nihanje N bo harmonično. Za opis nihanja točke N je potrebno zapisati koordinato točke N v odvisnosti od časa ($t$). Naj pri $t=0$ polmer OM tvori kot $(\varphi )_0$ z osjo X. Po določenem času se bo ta kot spremenil za $(\omega )_0t$ in bo enak $(\omega )_0t+(\varphi )_0$, potem:

Izraz (1) je analitična oblika zapisa harmoničnega nihanja točke N vzdolž premera $N_1N_2$.

Pojdimo k izrazu (1). Vrednost $A$ je največje odstopanje točke, ki niha od ravnotežnega položaja (točka O - središče kroga), imenovano amplituda nihanja.

Parameter $(\omega )_0$ je ciklična frekvenca nihanja. $\varphi =((\omega )_0t+(\varphi )_0$) - faza nihanja; $(\varphi )_0$ je začetna faza oscilacij.

Ciklično frekvenco harmoničnih nihanj lahko definiramo kot parcialni odvod faze nihanja glede na čas:

\[(\omega )_0=\frac(?\varphi )(\delni t)=\pika(\varphi )\levo(2\desno).\]

Ko je $(\varphi )_0=0$, se enačba nihanja (1) pretvori v obliko:

Če je začetna faza nihanja enaka $(\varphi )_0=\frac(\pi )(2)$ , potem dobimo enačbo nihanja v obliki:

Izraza (3) in (4) kažeta, da je za harmonična nihanja abscisa $x$ sinusna ali kosinusna funkcija časa. Pri grafičnem prikazu harmoničnih nihanj je rezultat kosinusni ali sinusni val. Oblika krivulje je določena z amplitudo nihanj in velikostjo ciklične frekvence. Položaj krivulje je odvisen od začetne faze.

Ciklično frekvenco nihanj lahko izrazimo s periodo (T) nihanj:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\levo(5\desno).\]

Ciklično frekvenco povežemo s frekvenco $?$$?$ z izrazom:

\[(\omega )_0=2\pi \nu \ \levo(6\desno).\]

Enota mednarodnega sistema enot (SI) za ciklično frekvenco je radian, deljen s sekundo:

\[\levo[(\omega )_0\desno]=\frac(rad)(s).\]

Dimenzija ciklične frekvence:

\[(\dim \left((\omega )_0\desno)=\frac(1)(t),\ )\]

kjer je $t$ čas.

Posebni primeri formul za izračun ciklične frekvence

Obremenitev na vzmeti (idealen model je vzmetno nihalo) izvaja harmonična nihanja s krožno frekvenco, ki je enaka:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))\levo(7\desno),\]

$k$ - koeficient elastičnosti vzmeti; $m$ je masa obremenitve vzmeti.

Majhna nihanja fizičnega nihala bodo približno harmonična nihanja s ciklično frekvenco, ki je enaka:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(mga)(J))\levo(8\desno),\]

kjer je $J$ vztrajnostni moment nihala glede na vrtilno os; $a$ je razdalja med masnim središčem nihala in visečo točko; $m$ je masa nihala.

Primer fizičnega nihala je matematično nihalo. Krožna frekvenca njegovih nihanj je enaka:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\levo(9\desno),\]

kjer je $l$ dolžina vzmetenja.

Kotna frekvenca dušenih nihanj se izračuna kot:

\[\omega =\sqrt((\omega )^2_0-(\delta )^2)\levo(10\desno),\]

kjer je $\delta $ koeficient slabljenja; v primeru dušenih nihanj se $(\omega )_0$ imenuje lastna kotna frekvenca nihanj.

Primeri problemov z rešitvami

Primer 1

Vaja: Kakšna je ciklična frekvenca harmoničnih nihanj, če je največja hitrost materialne točke $(\dot(x))_(max)=10\ \frac(cm)(s)$, njen največji pospešek pa $(\ ddot(x)) _(max)=100\ \frac(cm)(s^2)$?

rešitev: Osnova za rešitev problema bo enačba harmoničnih nihanj točke, saj je iz pogojev očitno, da se pojavljajo vzdolž X osi:

Hitrost nihanja bomo našli z uporabo enačbe (1.1) in kinematične povezave med koordinato $x$ in pripadajočo komponento hitrosti:

Največja vrednost hitrosti (amplituda hitrosti) je enaka:

Pospešek točke izračunamo kot:

Iz formule (1.3) izrazimo amplitudo, jo nadomestimo v (1.5) in dobimo ciklično frekvenco:

\[(\dot(x))_(max)=A(\omega )_0\do A=\frac((\dot(x))_(max))((\omega )_0);;\ ( \ddot(x))_(max)=A(sch_0)^2=\frac((\dot(x))_(max))(sch_0)(sch_0)^2\to sch_0=\frac((\ ddot(x))_(max))((\dot(x))_(max)).\]

Izračunajmo ciklično frekvenco:

\[w_0=\frac(100)(10)=10(\frac(rad)(s)).\]

odgovor:$ш_0=10\frac((\rm rad))((\rm s))$

Primer 2

Vaja: Dve uteži enake mase sta pritrjeni na dolgo breztežno palico. Ena utež je na sredini palice, druga pa na njenem koncu (slika 2). Sistem niha okoli vodoravne osi, ki poteka skozi prosti konec palice. Kakšna je ciklična frekvenca nihanja? Dolžina palice je $l$.

rešitev: Osnova za rešitev problema je formula za iskanje frekvence nihanja fizičnega nihala:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(mga)(J))\levo(2,1\desno),\]

kjer je $J$ vztrajnostni moment nihala glede na vrtilno os; $a$ je razdalja med masnim središčem nihala in visečo točko; $m$ je masa nihala. Glede na problem je masa nihala sestavljena iz mas dveh enakih kroglic (masa ene kroglice je $\frac(m)(2)$). V našem primeru je razdalja $a$ enaka razdalji med točkama O in C (glej sliko 2):

Poiščimo vztrajnostni moment sistema dveh točkastih mas. Vztrajnostni moment sistema ($J_0$) je glede na masno središče (če je vrtilna os narisana skozi točko C) enak:

Vztrajnostni moment našega sistema glede na os, ki gre skozi točko O, bomo našli s pomočjo Steinerjevega izreka:

Zamenjajmo desni strani izraza (2.2) in (2.4) v (2.1) namesto ustreznih količin:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(mg\frac(3)(4)l\ )(\frac(5)(8)ml^2))=\sqrt(\frac(6g)( 5l)).\]

odgovor:$(\omega )_0=\sqrt(\frac(6g)(5l))$

(lat. amplituda- magnituda) je največji odklon nihajočega telesa od njegovega ravnotežnega položaja.

Za nihalo je to največja razdalja, na katero se kroglica odmakne od svojega ravnotežnega položaja (slika spodaj). Za nihanja z majhnimi amplitudami lahko takšno razdaljo vzamemo kot dolžino loka 01 ali 02 in dolžine teh segmentov.

Amplitudo nihanj merimo v dolžinskih enotah - metrih, centimetrih itd. Na grafu nihanj je amplituda definirana kot največja (modulo) ordinata sinusne krivulje (glej spodnjo sliko).

Obdobje nihanja.

Obdobje nihanja- to je najkrajše časovno obdobje, v katerem se nihajoči sistem ponovno vrne v isto stanje, v katerem je bil v poljubno izbranem začetnem trenutku.

Z drugimi besedami, nihajna doba ( T) je čas, v katerem pride do enega popolnega nihanja. Na spodnji sliki je na primer to čas, ki je potreben, da se trb nihala premakne od skrajne desne točke skozi ravnovesno točko O do skrajne leve točke in nazaj skozi točko O spet skrajno desno.

V celotni periodi nihanja tako telo prepotuje pot, ki je enaka štirim amplitudam. Perioda nihanja se meri v časovnih enotah - sekunde, minute itd. Perioda nihanja se lahko določi iz dobro znanega grafa nihanj (glej spodnjo sliko).

Koncept "nihajne dobe", strogo gledano, velja le, če se vrednosti nihajne količine natančno ponovijo po določenem časovnem obdobju, to je za harmonična nihanja. Vendar pa ta koncept velja tudi za primere približno ponavljajočih se količin, na primer za dušena nihanja.

Frekvenca nihanja.

Frekvenca nihanja- to je število nihanj, opravljenih na enoto časa, na primer v 1 s.

Enota SI za frekvenco je poimenovana hertz(Hz) v čast nemškemu fiziku G. Hertzu (1857-1894). Če frekvenca nihanja ( v) je enako 1 Hz, to pomeni, da je vsako sekundo eno nihanje. Frekvenca in perioda nihanj sta povezani z razmerji:

V teoriji nihanj uporabljajo tudi koncept ciklično, oz krožna frekvenca ω . Povezan je z normalno frekvenco v in nihajno obdobje T razmerja:

Ciklična frekvenca je število izvedenih nihanj na 2π sekund

Kotna frekvenca je izražena v radianih na sekundo, njena dimenzija je inverzna dimenziji časa (radiani so brezdimenzijski). Kotna frekvenca je časovni odvod faze nihanja:

Kotna frekvenca v radianih na sekundo je izražena s frekvenco f(izraženo v obratih na sekundo ali vibracijah na sekundo), kot

Če kot enoto kotne frekvence uporabimo stopinje na sekundo, je razmerje do navadne frekvence naslednje:

Končno, pri uporabi vrtljajev na sekundo je kotna frekvenca enaka vrtilni hitrosti:

Poglej tudi

Fundacija Wikimedia. 2010.

Tsiklitiras Konstantinos
Ciklično zaporedje

Oglejte si, kaj je "ciklična frekvenca" v drugih slovarjih:

CIKLIČNA FREKVENCA- enako kot kotna frekvenca ... Veliki enciklopedični politehnični slovar

Pogostost serijskega procesa

Frekvenca jedra- Frekvenca je fizikalna količina, značilnost periodičnega procesa, ki je enaka številu popolnih ciklov, opravljenih na časovno enoto. Standardni zapis v formulah, oz. Enota frekvence v mednarodnem sistemu enot (SI) na splošno... ... Wikipedia

Pogostost- Ta izraz ima druge pomene, glejte Pogostost (pomeni). Frekvenca SI enote Hz Fizična frekvenca v ... Wikipedia

štetje ciklov Priročnik za tehnične prevajalce

Kotna frekvenca- Dimenzija T −1 Merske enote ... Wikipedia

Morda bi bilo koristno prebrati: